Логарифми з різними показниками. Визначення логарифму, основна логарифмічна тотожність. Основні формули логарифмів

Продовжуємо вивчати логарифми. У цій статті ми поговоримо про обчислення логарифмів, цей процес називають логарифмуванням. Спочатку ми розберемося з обчисленням логарифмів за визначенням. Далі розглянемо, як знаходять значення логарифмів з їх властивостей. Після цього зупинимося на обчисленні логарифмів через задані значення інших логарифмів. Нарешті, навчимося використовувати таблиці логарифмів. Вся теорія має приклади з докладними рішеннями.

Навігація на сторінці.

Обчислення логарифмів за визначенням

У найпростіших випадках можна досить швидко і легко виконати знаходження логарифму за визначенням. Давайте докладно розглянемо, як відбувається цей процес.

Його суть полягає в поданні числа b у вигляді a c , звідки визначення логарифму число c є значенням логарифму. Тобто, знаходження логарифму за визначенням відповідає наступний ланцюжок рівностей: log a b = log a a c = c.

Отже, обчислення логарифму за визначенням зводиться до знаходження такого числа c , що a c = b , а саме c є значення логарифму.

Враховуючи інформацію попередніх абзаців, коли число під знаком логарифму задано деяким ступенем заснування логарифму, то можна відразу вказати, чому дорівнює логарифм – він дорівнює показнику ступеня. Покажемо рішення прикладів.

приклад.

Знайдіть log 2 2 −3, а також обчисліть натуральний логарифм числа e 5,3.

Рішення.

Визначення логарифму дозволяє нам відразу сказати, що log 2 2 −3 =−3 . Дійсно, число під знаком логарифму дорівнює підставі 2 -3 ступеня.

Аналогічно знаходимо другий логарифм: lne 5,3 = 5,3.

Відповідь:

log 2 2 −3 =−3 та lne 5,3 =5,3 .

Якщо ж число b під знаком логарифму не задано як ступінь основи логарифму, потрібно уважно подивитися, чи можна дійти уявлення числа b як a c . Часто таке уявлення буває досить очевидним, особливо коли число під знаком логарифму дорівнює підставі в ступені 1, або 2, або 3, ...

приклад.

Обчисліть логарифми log 5 25 і .

Рішення.

Нескладно помітити, що 25 = 5 2 це дозволяє обчислювати перший логарифм: log 5 25 = log 5 5 2 = 2 .

Переходимо до обчислення другого логарифму. Число можна представити у вигляді ступеня числа 7: (за потреби дивіться ). Отже, .

Перепишемо третій логарифм у такому вигляді. Тепер можна побачити, що , звідки укладаємо, що . Отже, за визначенням логарифму .

Коротко рішення можна було записати так: .

Відповідь:

log 5 25 = 2, і .

Коли під знаком логарифму знаходиться досить велике натуральне число, його не завадить розкласти на прості множники. Це часто допомагає уявити таке число у вигляді певної міри підстави логарифму, отже, обчислити цей логарифм за визначенням.

приклад.

Знайдіть значення логарифму.

Рішення.

Деякі властивості логарифмів дозволяють одразу вказати значення логарифмів. До таких властивостей відносяться властивість логарифму одиниці та властивість логарифму числа, що дорівнює основі: log 1 1 = log a a 0 = 0 і log a a = log a a 1 = 1 . Тобто коли під знаком логарифму знаходиться число 1 або число a , рівне підставі логарифму, то в цих випадках логарифми рівні 0 і 1 відповідно.

приклад.

Чому рівні логарифми та lg10?

Рішення.

Оскільки , то з визначення логарифму випливає .

У другому прикладі число 10 під знаком логарифму збігається з його основою, тому десятковий логарифм десяти дорівнює одиниці, тобто lg10=lg10 1 =1 .

Відповідь:

І lg10=1.

Зазначимо, що обчислення логарифмів за визначенням (яке ми розібрали в попередньому пункті) має на увазі використання рівності log a a p =p, яка є однією з властивостей логарифмів.

На практиці, коли число під знаком логарифму та основа логарифму легко видаються у вигляді ступеня деякого числа, дуже зручно використовувати формулу , Що відповідає одному з властивостей логарифмів. Розглянемо приклад знаходження логарифму, що ілюструє використання цієї формули.

приклад.

Обчисліть логарифм.

Рішення.

Відповідь:

.

Не згадані вище властивості логарифмів також використовуються для обчислення, але про це поговоримо в наступних пунктах.

Знаходження логарифмів через інші відомі логарифми

Інформація цього пункту продовжує тему використання властивостей логарифмів під час їх обчислення. Але тут основна відмінність полягає в тому, що властивості логарифмів використовуються для того, щоб виразити вихідний логарифм через інший логарифм, значення якого відомо. Наведемо приклад пояснення. Припустимо, ми знаємо, що log 2 3≈1,584963 тоді ми можемо знайти, наприклад, log 2 6 , виконавши невелике перетворення за допомогою властивостей логарифму: log 2 6=log 2 (2·3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

У наведеному прикладі нам було достатньо використати властивість логарифму твору. Однак набагато частіше доводиться застосовувати ширший арсенал властивостей логарифмів, щоб обчислити вихідний логарифм через задані.

приклад.

Обчисліть логарифм 27 на підставі 60 якщо відомо, що log 60 2=a і log 60 5=b .

Рішення.

Отже, нам потрібно знайти log 60 27 . Нескладно помітити, що 27=3 3 і вихідний логарифм в силу властивості логарифму ступеня можна переписати як 3 log 60 3 .

Тепер подивимося, як log 60 3 виразити через відомі логарифми. Властивість логарифму числа, що дорівнює основі, дозволяє записати рівність log 60 60 = 1 . З іншого боку log 60 60 = log60 (2 2 · 3 · 5) = log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2·log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Таким чином, 2·log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Отже, log 60 3=1−2·log 60 2−log 60 5=1−2·a−b.

Нарешті, обчислюємо вихідний логарифм: log 60 27 = 3 · log 60 3 = 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Відповідь:

log 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Окремо варто сказати про значення формули переходу до нової основи логарифму виду . Вона дозволяє від логарифмів з будь-якими основами переходити до логарифмів з конкретною основою, значення яких відомі або є можливість їх відшукати. Зазвичай від вихідного логарифму за формулою переходу переходять до логарифм по одній з підстав 2 , e або 10 , так як з цих підстав існують таблиці логарифмів, що дозволяють з певним ступенем точності обчислювати їх значення. У цьому пункті ми покажемо, як це робиться.

Таблиці логарифмів, їх використання

Для наближеного обчислення значень логарифмів можна використовувати таблиці логарифмів. Найчастіше використовується таблиця логарифмів на підставі 2 таблиця натуральних логарифмів і таблиця десяткових логарифмів. При роботі в десятковій системі числення зручно користуватися таблицею логарифмів на підставі десять. З її допомогою і вчитимемося знаходити значення логарифмів.

Подана таблиця дозволяє з точністю до однієї десятитисячної знаходити значення десяткових логарифмів чисел від 1000 до 9999 (з трьома знаками після коми). Принцип знаходження значення логарифму за допомогою таблиці десяткових логарифмів розберемо на конкретному прикладі так зрозуміло. Знайдемо lg1,256.

У лівому стовпці таблиці десяткових логарифмів знаходимо дві перші цифри числа 1,256, тобто, знаходимо 1,2 (це для наочності обведено синьою лінією). Третю цифру числа 1,256 (цифру 5) знаходимо в першому або останньому рядку зліва від подвійної лінії (це число обведене червоною лінією). Четверту цифру вихідного числа 1,256 (цифру 6) знаходимо в першому або останньому рядку праворуч від подвійної лінії (це число обведене зеленою лінією). Тепер знаходимо числа в осередках таблиці логарифмів на перетині зазначеного рядка та зазначених стовпців (ці числа виділені оранжевим кольором). Сума зазначених чисел дає значення десяткового логарифму з точністю до четвертого знака після коми, тобто, lg1,236≈0,0969+0,0021=0,0990.

А чи можна, використовуючи наведену таблицю, знаходити значення десяткових логарифмів чисел, що мають більше трьох цифр після коми, а також за межі від 1 до 9,999? Так можна. Покажемо, як це робиться на прикладі.

Обчислимо lg102,76332. Спочатку потрібно записати число у стандартному вигляді: 102,76332 = 1,0276332 · 10 2 . Після цього мантису слід округлити до третього знака після коми, маємо 1,0276332·10 2 ≈1,028·10 2, при цьому вихідний десятковий логарифм приблизно дорівнює логарифму отриманого числа, тобто, приймаємо lg102,76332≈lg1,028·10 2 . Тепер застосовуємо властивості логарифму: lg1,028·10 2 =lg1,028+lg10 2 =lg1,028+2. Нарешті, знаходимо значення логарифму lg1,028 по таблиці десяткових логарифмів lg1,028 0,0086 +0,0034 = 0,012 . У результаті весь процес обчислення логарифму виглядає так: lg102,76332=lg1,0276332·10 2 ≈lg1,028·10 2 = lg1,028+lg10 2 =lg1,028+2≈0,012+2=2,012.

Насамкінець варто відзначити, що використовуючи таблицю десяткових логарифмів можна обчислити наближене значення будь-якого логарифму. Для цього достатньо за допомогою формули переходу перейти до десяткових логарифмів, знайти їх значення по таблиці, і виконати обчислення, що залишилися.

Наприклад обчислимо log 2 3 . За формулою переходу до нової основи логарифму маємо. З таблиці десяткових логарифмів знаходимо lg3 ≈ 0,4771 та lg2 ≈ 0,3010 . Таким чином, .

Список літератури.

• Колмогоров А.М., Абрамов А.М., Дудніцин Ю.П. та ін Алгебра та початку аналізу: Підручник для 10 - 11 класів загальноосвітніх установ.
• Гусєв В.А., Мордкович А.Г. Математика (посібник для вступників до технікумів).

\(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)

Пояснимо простіше. Наприклад, \(\log_(2)(8)\) дорівнює ступеня, в яку треба звести \(2\), щоб отримати \(8\). Звідси відомо, що (log_(2)(8)=3).

Аргумент та основа логарифму

Будь-який логарифм має таку «анатомію»:

Аргумент логарифму зазвичай пишеться з його рівні, а основа - підрядковим шрифтом ближче до знаку логарифму. А читається цей запис так: «логарифм двадцяти п'яти на підставі п'ять».

Як визначити логарифм?

Щоб обчислити логарифм – потрібно відповісти на запитання: в який ступінь слід звести основу, щоб отримати аргумент?

Наприклад, обчисліть логарифм: а) \(\log_(4)(16)\) б) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) в) \(\log_(\sqrt (5))(1)\) г) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) д) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

а) В який ступінь треба звести (4), щоб отримати (16)? Вочевидь у другу. Тому:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

в) В який ступінь треба звести (sqrt(5)), щоб отримати (1)? А який рівень робить будь-яке число одиницею? Нуль, звичайно!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

г) В який ступінь треба звести \(\sqrt(7)\), щоб отримати \(\sqrt(7)\)? У першу - будь-яке число в першому ступені дорівнює самому собі.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

д) В який ступінь треба звести (3), щоб отримати (sqrt (3))? З ми знаємо, що - це дробовий ступінь, і значить квадратний корінь - це ступінь \(\frac(1)(2)\).

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

приклад : Обчислити логарифм \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Рішення :

Відповідь : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Навіщо вигадали логарифм?

Щоб це зрозуміти, розв'яжемо рівняння: \(3^(x)=9\). Просто підберіть \(x\), щоб рівність спрацювала. Звісно, ​​(x=2).

А тепер розв'яжіть рівняння: \(3^(x)=8\).Чому дорівнює ікс? Ось у тому й справа.

Найдогадливіші скажуть: «ікс трохи менше двох». А як точно записати це число? Для відповіді це питання і придумали логарифм. Завдяки йому відповідь тут можна записати як \(x=\log_(3)(8)\).

Хочу наголосити, що \(\log_(3)(8)\), як і будь-який логарифм - це просто число. Так, виглядає незвично, зате коротко. Тому що, якби ми захотіли записати його у вигляді десяткового дробу, воно виглядало б ось так: \(1,892789260714.....\)

приклад : Розв'яжіть рівняння \(4^(5x-4)=10\)

Рішення :

Відповідь : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Десятковий та натуральний логарифми

Як зазначено у визначенні логарифму, його основою може бути будь-яке позитивне число, крім одиниці ((a>0, a\neq1)). І серед усіх можливих підстав є два такі часто, що для логарифмів з ними придумали особливий короткий запис:

Натуральний логарифм: логарифм, у якого основа - число Ейлера (e) (рівне приблизно (2,7182818 ...)), і записується такий логарифм як (ln (a)).

Тобто, \(\ln(a)\) це те саме, що і \(\log_(e)(a)\)

Десятковий логарифм: логарифм, у якого основа дорівнює 10, записується \(\lg(a)\).

Тобто, \(\lg(a)\) це те саме, що і \(\log_(10)(a)\), де (a) - деяке число.

Основне логарифмічне тотожність

У логарифмів є багато властивостей. Одне з них носить назву «Основна логарифмічна тотожність» і виглядає так:

Ця властивість випливає безпосередньо з визначення. Подивимося, як саме ця формула з'явилася.

Згадаймо короткий запис визначення логарифму:

якщо \(a^(b)=c\), то \(\log_(a)(c)=b\)

Тобто, \(b\) - це теж саме, що \(\log_(a)(c)\). Тоді ми можемо у формулі \(a^(b)=c\) написати \(\log_(a)(c)\) замість \(b\). Вийшло \(a^(\log_(a)(c))=c\) – основна логарифмічна тотожність.

Інші властивості логарифмів ви можете знайти. З їх допомогою можна спрощувати та обчислювати значення виразів з логарифмами, які «в лоб» порахувати складно.

приклад : Знайдіть значення виразу \(36^(\log_(6)(5))\)

Рішення :

Відповідь : \(25\)

Як записати число у вигляді логарифму?

Як було сказано вище – будь-який логарифм це число. Вірно і зворотне: будь-яке число може бути записане як логарифм. Наприклад, ми знаємо, що \(\log_(2)(4)\) дорівнює двом. Тоді можна замість двійки писати \(\log_(2)(4)\).

Але \(\log_(3)(9)\) теж дорівнює \(2\), значить, також можна записати \(2=\log_(3)(9)\). Аналогічно і з (log_(5)(25)\), і з (log_(9)(81)\), і т.д. Тобто виходить

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Таким чином, якщо нам потрібно, ми можемо будь-де (хоч у рівнянні, хоч у виразі, хоч у нерівності) записувати двійку як логарифм з будь-якою основою – просто як аргумент пишемо основу в квадраті.

Так само і з трійкою – її можна записати як \(\log_(2)(8)\), або як \(\log_(3)(27)\), або як \(\log_(4)(64) \) ... Тут ми як аргумент пишемо основу в кубі:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

І з четвіркою:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

І з мінус одиницею:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\) \(...\)

І з однієї третьої:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Будь-яке число \(a\) може бути представлене як логарифм з основою \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

приклад : Знайдіть значення виразу \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Рішення :

Відповідь : \(1\)

У центрі уваги цієї статті – логарифм. Тут ми дамо визначення логарифму, покажемо прийняте позначення, наведемо приклади логарифмів, і скажемо про натуральні та десяткові логарифми. Після цього розглянемо основну логарифмічну тотожність.

Навігація на сторінці.

Визначення логарифму

Поняття логарифма виникає під час вирішення завдання у сенсі зворотної , коли необхідно визначити показник ступеня за відомим значенням ступеня і відомому підставі.

Але вистачить передмов, настав час відповісти на запитання «що таке логарифм»? Дамо відповідне визначення.

Визначення.

Логарифм числа b на підставі a, де a>0 , a≠1 і b>0 – це показник ступеня, який потрібно звести число a , щоб у результаті отримати b .

На цьому етапі зауважимо, що вимовлене слово «логарифм» має відразу викликати два питання: «якого числа» і «з якої підстави». Інакше кажучи, просто логарифма немає, а є лише логарифм числа з деякому підставі.

Відразу введемо позначення логарифму: логарифм числа b на основі a прийнято позначати як log a b . Логарифм числа b на підставі e і логарифм на підставі 10 мають свої спеціальні позначення lnb і lgb відповідно, тобто, пишуть не log e b , а lnb і не log 10 b , а lgb .

Тепер можна навести: .
А записи немає сенсу, оскільки у першій їх під знаком логарифма перебуває негативне число, у другій – негативне число у підставі, а третій – і негативне число під знаком логарифму і одиниця у підставі.

Тепер скажемо про правила читання логарифмів. Запис log a b читається як «логарифм b на основі a ». Наприклад, log 2 3 - це логарифм трьох з основи 2 , а - це логарифм двох цілих двох третіх з основи квадратний корінь з п'яти. Логарифм на основі e називають натуральним логарифмома запис lnb читається як «натуральний логарифм b». Наприклад, ln7 – це натуральний логарифм семи, а ми прочитаємо як натуральний логарифм пі. Логарифм на підставі 10 також має спеціальну назву – десятковий логарифм, а запис lgb читається як «десятковий логарифм b». Наприклад, lg1 – це десятковий логарифм одиниці, а lg2,75 – десятковий логарифм двох цілих сімдесяти п'яти сотих.

Варто окремо зупинитися на умовах a>0, a≠1 і b>0, за яких дається визначення логарифму. Пояснимо, звідки беруться ці обмеження. Зробити це допоможе рівності виду , зване , яке безпосередньо випливає з цього вище визначення логарифму.

Почнемо з a≠1. Так як одиниця в будь-якій мірі дорівнює одиниці, то рівність може бути справедливою лише при b = 1, але при цьому log 1 може бути будь-яким дійсним числом. Щоб уникнути цієї багатозначності і приймається a≠1.

Обгрунтуємо доцільність умови a>0. При a = 0 за визначенням логарифму ми мали рівність , яке можливе лише за b = 0 . Але тоді log 0 0 може бути будь-яким відмінним від нуля дійсним числом, так як нуль у будь-якому відмінному від нуля ступені є нуль. Уникнути цієї багатозначності дозволяє умова a≠0. А при a<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

Нарешті, умова b>0 випливає з нерівності a>0 , оскільки , а значення ступеня з позитивною основою завжди позитивно.

На закінчення цього пункту скажемо, що озвучене визначення логарифму дозволяє відразу вказати значення логарифму, коли під знаком логарифму є певний ступінь підстави. Дійсно, визначення логарифму дозволяє стверджувати, що якщо b=a p , то логарифм числа b на підставі a дорівнює p . Тобто справедливо рівність log a a p = p . Наприклад, знаємо, що 2 3 =8 , тоді log 2 8=3 . Докладніше про це ми поговоримо у статті

Почнемо зі властивості логарифму одиниці. Його формулювання таке: логарифм одиниці дорівнює нулю, тобто, log a 1=0для будь-якого a>0, a≠1. Доказ не викликає складнощів: оскільки a 0 =1 для будь-якого a , що задовольняє зазначеним вище умовам a>0 і a≠1 , то рівність log a 1=0 відразу випливає з визначення логарифму.

Наведемо приклади застосування розглянутої якості: log 3 1=0 , lg1=0 і .

Переходимо до наступної властивості: логарифм числа, рівного підставі, дорівнює одиниці, тобто, log a a=1при a>0, a≠1. Справді, оскільки a 1 =a для будь-якого a , то визначення логарифму log a a=1 .

Прикладами використання цієї властивості логарифмів є рівності log 5 5 = 1, log 5,6 5,6 і lne = 1 .

Наприклад, log 2 2 7 =7 , lg10 -4 =-4 і .

Логарифм твору двох позитивних чисел x і y дорівнює добутку логарифмів цих чисел: log a (x · y) = log a x + log a y, a>0, a≠1. Доведемо властивість логарифму твору. В силу властивостей ступеня a log a x + log a y = log a x · log a y, а так як за основною логарифмічною тотожністю a log a x = x і a log a y = y, то a log a x a log a y = x y. Таким чином, a log a x + log a y = x · y, звідки за визначенням логарифму випливає рівність, що доводиться.

Покажемо приклади використання властивості логарифму добутку: log 5 (2·3)=log 5 2+log 5 3 .

Властивість логарифму твору можна узагальнити добуток кінцевого числа n позитивних чисел x 1 , x 2 , …, x n як log a (x 1 · x 2 · ... · x n) = log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n . Ця рівність без проблем доводиться.

Наприклад, натуральний логарифм твору можна замінити сумою трьох натуральних логарифмів чисел 4 , e , і .

Логарифм приватного двох позитивних чисел x і y дорівнює різниці логарифмів цих чисел. Властивості приватного логарифму відповідає формула виду , де a>0 , a≠1 , x і y – деякі позитивні числа. Справедливість цієї формули доводиться як і формула логарифму твору: оскільки , то щодо визначення логарифму .

Наведемо приклад використання цієї властивості логарифму: .

Переходимо до властивості логарифму ступеня. Логарифм ступеня дорівнює добутку показника ступеня на логарифм модуля основи цього ступеня. Запишемо цю властивість логарифму ступеня у вигляді формули: log a b p = log a | b |, де a>0 , a≠1 , b та p такі числа, що ступінь b p має сенс і b p >0 .

Спочатку доведемо цю властивість для позитивних b. Основне логарифмічне тотожність дозволяє нам уявити число b як a log a b тоді b p = (a log a b) p , а отримане вираз в силу властивість ступеня дорівнює a p · log a b . Так ми приходимо до рівності b p = a p · log a b , з якого за визначенням логарифму укладаємо, що log a b p = p · log a b .

Залишилося довести цю властивість для негативних b. Тут зауважуємо, що вираз log a b p при негативних b має сенс лише при парних показниках ступеня p (оскільки значення ступеня b p має бути більшим за нуль, в іншому випадку логарифм не матиме сенсу), а в цьому випадку b p =|b| p. Тоді b p = | b | p = (a log a | b |) p = a p · log a | b |, Звідки log a b p = p log a | b | .

Наприклад, і ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .

Із попередньої властивості випливає властивість логарифму з кореня: логарифм кореня n-ого ступеня дорівнює добутку дробу 1/n на логарифм підкореного виразу, тобто, , де a>0, a≠1,n - натуральне число, більше одиниці, b>0.

Доказ базується на рівності (дивіться ), яка справедлива для будь-яких позитивних b і властивості логарифму ступеня: .

Ось приклад використання цієї властивості: .

Тепер доведемо формулу переходу до нової основи логарифмувиду . Для цього достатньо довести справедливість рівності log c b = log a b log c a . Основне логарифмічне тотожність дозволяє нам число b уявити як a log a b тоді log c b = log c a log a b . Залишилося скористатися властивістю логарифму ступеня: log ca log ab = log a b log c a. Так доведено рівність log c b = log a b log ca , а значить, доведено і формулу переходу до нової основи логарифму.

Покажемо кілька прикладів застосування цієї властивості логарифмів: і .

Формула переходу до нової основи дозволяє переходити до роботи з логарифмами, що мають «зручну» основу. Наприклад, з її допомогою можна перейти до натуральних або десяткових логарифмів, щоб можна було обчислити значення логарифму таблиці логарифмів. Формула переходу до нової основи логарифму також дозволяє в деяких випадках знаходити значення логарифму, коли відомі значення деяких логарифмів з іншими основами.

Часто використовується окремий випадок формули переходу до нової основи логарифму при c=b виду . Звідси видно, що log ab і log ba – . Наприклад, .

Також часто використовується формула яка зручна при знаходженні значень логарифмів. Для підтвердження своїх слів покажемо, як з її допомогою обчислюється значення логарифму . Маємо . Для доказу формули достатньо скористатися формулою переходу до нової основи логарифму a: .

Залишилося довести властивості порівняння логарифмів.

Доведемо, що для будь-яких позитивних чисел b1 і b2, b1 log a b 2 , а за a>1 – нерівність log a b 1

Нарешті, залишилося довести останню з перерахованих властивостей логарифмів. Обмежимося доказом його першої частини, тобто доведемо, що якщо a 1 >1 , a 2 >1 і a 1 1 справедливо log a 1 b> log a 2 b . Інші твердження цієї властивості логарифмів доводяться за аналогічним принципом.

Скористаємося методом від неприємного. Припустимо, що за a 1 >1 , a 2 >1 і a 1 1 справедливо log a 1 b≤log a 2 b . За властивостями логарифмів ці нерівності можна переписати як і відповідно, а з них випливає, що log b a 1 ≤ log b a 2 і log b a 1 ≥ log b a 2 відповідно. Тоді за властивостями ступенів з однаковими основами повинні виконуватися рівності b log b a 1 b log b a 2 і b log b a 1 b log b a 2 , тобто, a 1 a 2 . Так ми дійшли суперечності умові a 1

Список літератури.

• Колмогоров А.М., Абрамов А.М., Дудніцин Ю.П. та ін Алгебра та початку аналізу: Підручник для 10 - 11 класів загальноосвітніх установ.
• Гусєв В.А., Мордкович А.Г. Математика (посібник для вступників до технікумів).

З розвитком суспільства, ускладнення виробництва розвивалася і математика. Рух від простого до складного. Від звичайного обліку шляхом складання і віднімання, за її багаторазовому повторенні, дійшли поняття множення і поділу. Скорочення операції, що багаторазово повторюється, множення стало поняттям зведення в ступінь. Перші таблиці залежності чисел від основи та числа зведення у ступінь були складені ще у VIII столітті індійським математиком Варасена. З них можна відраховувати час виникнення логарифмів.

Історичний нарис

Відродження Європи у XVI столітті стимулювало та розвиток механіки. Т потрібний великий обсяг обчислення, пов'язаних з множенням та розподілом багатозначних чисел. Стародавні таблиці надали велику послугу. Вони дозволяли замінювати складні операції більш прості – додавання і віднімання. Великим кроком уперед стала робота математика Міхаеля Штіфеля, опублікована в 1544, в якій він реалізував ідею багатьох математиків. Що дозволило використовувати таблиці не тільки для ступенів у вигляді простих чисел, але і для раціональних довільних.

В 1614 шотландець Джон Непер, розвиваючи ці ідеї, вперше ввів новий термін «логарифм числа». Були складені нові складні таблиці для розрахунку логарифмів синусів та косінусів, а також тангенсів. Це дуже скоротило працю астрономів.

Стали з'являтися нові таблиці, які успішно використовувалися вченими упродовж трьох століть. Пройшло чимало часу, перш ніж нова операція в алгебрі набула свого закінченого вигляду. Було дано визначення логарифму, та його властивості були вивчені.

Лише у XX столітті з появою калькулятора та комп'ютера людство відмовилося від стародавніх таблиць, які успішно працювали протягом XIII століть.

Сьогодні ми називаємо логарифмом b на основі a число x, яке є ступенем числа а, щоб вийшло число b. Як формули це записується: x = log a(b).

Наприклад, log 3(9) дорівнюватиме 2. Це очевидно, якщо дотримуватися визначення. Якщо 3 звести до ступеня 2, то отримаємо 9.

Так, сформульоване визначення ставить лише одне обмеження, числа a та b повинні бути речовими.

Різновиди логарифмів

Класичне визначення називається речовий логарифм і є рішенням рівняння a x = b. Варіант a = 1 є прикордонним і не становить інтересу. Увага: 1 у будь-якому ступені дорівнює 1.

Речове значення логарифмувизначено тільки при підставі та аргументі більше 0, при цьому основа не повинна дорівнювати 1.

Особливе місце у галузі математикиграють логарифми, які будуть називатися залежно від величини їхньої основи:

Правила та обмеження

Основною властивістю логарифмів є правило: логарифм добутку дорівнює логарифмічній сумі. log abp = log a (b) + log a (p).

Як варіант цього твердження буде: log c(b/p) = log с(b) - log c(p), функція приватного дорівнює різниці функцій.

З попередніх двох правил легко видно, що: log a (b p) = p * log a (b).

Серед інших властивостей можна виділити:

Зауваження. Не треба робити поширену помилку - логарифм суми не дорівнює сумі логарифмів.

Багато століть операція пошуку логарифму була досить трудомістким завданням. Математики користувалися відомою формулою логарифмічної теорії розкладання на багаточлен:

ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), де n - натуральне число більше 1, що визначає точність обчислення.

Логарифми з іншими підставами обчислювалися, використовуючи теорему про перехід від однієї підстави до іншої та властивості логарифму твору.

Так як цей спосіб дуже трудомісткий і при вирішенні практичних завданьважкоздійсненним, то використовували заздалегідь складені таблиці логарифмів, що значно прискорювало всю роботу.

У деяких випадках використовували спеціально складені графіки логарифмів, що давало меншу точність, але прискорювало пошук потрібного значення. Крива функції y = log a (x), побудована за кількома точками, дозволяє за допомогою звичайної лінійки знаходити значення функції у будь-якій іншій точці. Інженери тривалий час для цього використовували так званий міліметровий папір.

У XVII столітті з'явилися перші допоміжні аналогові обчислювальні умови, які до XIX століття набули закінченого вигляду. Найбільш вдалий пристрій отримав назву логарифмічна лінійка. При всій простоті пристрою, її поява значно прискорило процес усіх інженерних розрахунків, і це важко переоцінити. Нині вже мало хто знайомий із цим пристроєм.

Поява калькуляторів та комп'ютерів зробила безглуздим використання будь-яких інших пристроїв.

Рівняння та нерівності

Для розв'язання різних рівнянь та нерівностей з використанням логарифмів застосовуються такі формули:

• Перехід від однієї основи до іншої: log a (b) = log c (b) / log c (a);
• Як наслідок попереднього варіанта: log a (b) = 1 / log b (a).

Для вирішення нерівностей корисно знати:

• Значення логарифму буде позитивним тільки в тому випадку, коли основа та аргумент одночасно більша або менша за одиницю; якщо хоча б одна умова порушена, значення логарифму буде негативним.
• Якщо функція логарифму застосовується до правої та лівої частини нерівності, і основа логарифму більше одиниці, то знак нерівності зберігається; інакше він змінюється.

Приклади завдань

Розглянемо кілька варіантів застосування логарифмів та їх властивості. Приклади з розв'язуванням рівнянь:

Розглянемо варіант розміщення логарифму у ступені:

• Завдання 3. Обчислити 25 log 5 (3). Рішення: в умовах задачі запис аналогічний наступній (5^2)^log5(3) або 5^(2 * log 5(3)). Запишемо по-іншому: 5^log 5(3*2), або квадрат числа як аргумент функції можна записати як квадрат самої функції (5^log 5(3))^2. Використовуючи властивості логарифмів, цей вираз дорівнює 32. Відповідь: внаслідок обчислення отримуємо 9.

Практичне застосування

Будучи виключно математичним інструментом, здається далеким від реального життя, що логарифм несподівано набув великого значення для опису об'єктів реального світу. Важко знайти науку, де її не застосовують. Це повною мірою стосується не тільки природних, а й гуманітарних областей знань.

Логарифмічні залежності

Наведемо кілька прикладів числових залежностей:

Механіка та фізика

Історично механіка та фізика завжди розвивалися з використанням математичних методів дослідження та одночасно служили стимулом для розвитку математики, у тому числі логарифмів. Теорія більшості законів фізики написана мовою математики. Наведемо лише два приклади опису фізичних законів з використанням логарифму.

Вирішувати завдання розрахунку такої складної величини як швидкість ракети можна, застосовуючи формулу Ціолковського, яка започаткувала теорію освоєння космосу:

V = I * ln (M1/M2), де

• V – кінцева швидкість літального апарату.
• I – питомий імпульс двигуна.
• M 1 - Початкова маса ракети.
• M2 – кінцева маса.

Інший важливий приклад- це використання у формулі іншого великого вченого Макса Планка, яка служить для оцінки рівноважного стану термодинаміки.

S = k * ln (Ω), де

• S – термодинамічна властивість.
• k - Постійна Больцмана.
• Ω – статистична вага різних станів.

Хімія

Менш очевидним буде використання формул у хімії, що містять відношення логарифмів. Наведемо також лише два приклади:

• Рівняння Нернста, умова окислювально-відновного потенціалу середовища щодо активності речовин та константи рівноваги.
• Розрахунок таких констант, як показник автопролізу та кислотність розчину теж не обходяться без нашої функції.

Психологія та біологія

І вже зовсім незрозуміло, до чого тут психологія. Виявляється, сила відчуття добре описується цією функцією як зворотне відношення до значення інтенсивності подразника до нижнього значення інтенсивності.

Після вищенаведених прикладів не дивує, що у біології широко використовується тема логарифмів. Для біологічних форм, відповідні логарифмічним спіралям, можна писати цілі томи.

Інші області

Здається, неможливе існування світу без зв'язку з цією функцією, і вона править усіма законами. Особливо коли закони природи пов'язані з геометричною прогресією. Варто звернутися до сайту МатПрофі, і таких прикладів знайдеться безліч у таких сферах діяльності:

Список може бути нескінченним. Освоївши основні закономірності цієї функції, можна поринути у світ нескінченної мудрості.